Задача 65314

Темы:    [ Непрерывное распределение ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги ABCD. Митя называет сгиб красивым, если сторона AB пересекает сторону CD и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку F. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку F.

Решение

  Развернём красивый сгиб (рис. справа). Пусть диагональ BD и линия сгиба ST пересекаются в точке O. Треугольники BSO и DTO равны по стороне и двум углам. Значит,  BO = OD,  и поэтому O – центр квадрата. Таким образом, линия сгиба ST проходит через центр квадрата. Очевидно, обратное также верно – если линия сгиба проходит через центр квадрата, то сгиб будет красивым.

  Точка S может занять любое положение между B и C, а точка T при этом расположена между D и A. Значит, чтобы через точку F можно было сделать красивый сгиб, нужно, чтобы точка F принадлежала треугольнику BOC или треугольнику AOD.
  Площадь фигуры, ограниченной этими треугольниками, равна половине площади квадрата.

Ответ

½.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2011
задача
Номер	6