ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65317
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
Название задачи: Муха на решётке.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Муха ползёт из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо. Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
  а) муха окажется в точке  (8, 10);
  б) муха окажется в точке  (8, 10),  по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки  (5,6)  и  (6. 6);
  в) муха окажется в точке  (8, 10),  пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке  (4, 5).


Решение

  а) Муха может достичь точки  (8, 10)  ровно за 18 шагов. Поэтому достаточно рассмотреть первые 18 шагов мухи. Общее число возможных путей, состоящих из 18 шагов равно 218.
  Чтобы попасть в точку  (8, 10)  из этих 18 шагов, муха должна ровно 8 шагов сделать вправо и ровно 10 вверх. При этом порядок, в котором чередуются шаги вправо и вверх, не важен. Значит, число путей, приводящих в точку  (8, 10),  равно  .
  Таким образом, вероятность попасть в эту точку равна   .

  б) Число путей, приводящих в точку  (5, 6),  равно  .  В точку  (6, 6)  из точки  (5, 6)  ведёт только один путь. Затем муха должна пройти из точки  (6, 6)  в точку  (8, 10),  и здесь у неё    возможных путей. Значит, общее число путей, которые удовлетворяют условию задачи, равно   .
  Общее число путей из 18 шагов равно 218. Значит, вероятность попасть в точку  (8, 10),  по дороге пройдя точки  (5, 6)  и  (6, 6),  равна  .

  в) Муха пройдёт внутри круга в том и только том случае, когда она пройдёт через одну из пяти отмеченных точек (см. рис.).

  При этом муха может пройти только через одну из этих точек. Поэтому, чтобы найти число путей, ведущих в точку  (8, 10)  через круг, нужно найти число путей, проходящих через каждую из этих точек, и сложить результаты:  
  Искомая вероятность равна  


Ответ

а)  ;   б)  ;   в)   .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2011
задача
Номер 9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .