|
|
 |
Условие
В наборе –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.
Решение
Как известно, дисперсия набора равна разности среднего квадрата и
квадрата среднего. Поэтому задачу можно переформулировать: нужно заменить одно число двумя другими так, чтобы среднее арифметическое и средний квадрат чисел в наборе не изменились. Среднее арифметическое данного набора равно 0, поэтому
среднее арифметическое нового набора, а, следовательно, и сумма чисел
в нём также должна быть равна 0.
В данном наборе 11 чисел, а сумма квадратов равна 2·(1² + 2² + 3² + 4² + 5²) = 110, так что средний квадрат равен 10. В новом наборе 12 чисел, поэтому сумма квадратов чисел нового набора должна быть 120, то есть увеличивается на 10. Заменим число a числами b и c. Тогда a = b + c и
a² + 10 = b² + c². Следовательно, b² + c² – 10 = (b + c)² = b² + c² + 2bc, откуда bc = –5.
Значит, одно из чисел равно 5 или –5, а другое, соответственно, –1 или 1. В первом случае a = 4, во втором случае a = –4.
Ответ
Надо заменить –4 на 1 и –5 или заменить 4 на –1 и 5.
