ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65335
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из 27 игральных кубиков сложен куб.
  а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестёрок.
  б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.
  в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.
  г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.
  д) Найдите математическое ожидание случайной величины: "Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба".


Решение

  а) Один из 27 кубиков в центре и поэтому не виден вовсе. Остальные 26 кубиков видны. Значит, нужное событие  A = {25 шестёрок}  состоит в том, что все кубики смотрят шестёрками наружу, кроме одного – назовем его особым кубиком.
  Рассмотрим все кубики. Если кубик в центре одной из граней, то он "показывает" шестёрку с вероятностью ⅙. Если он находится в середине ребра, то видны две его грани, поэтому шестёрка на нём видна с вероятностью  2/6 = ⅓.  Наконец, если кубик находится в вершине большого куба, то видно три его грани, поэтому на нём видно шестёрку с вероятностью ½.
  Особый кубик может оказаться в центре конкретной грани с вероятностью  ⅚5/6·(⅙)5·(⅓)12·(½)8  – здесь перемножаются вероятности независимых событий "особый кубик смотрит наружу ланной грани не шестёркой", "5 других кубиков в центрах граней смотрят наружу шестёрками", "на всех 12 кубиках в серединах рёбер видна шестёрка" и "на всех 8 кубиках в вершинах видна шестёрка".
  Особый кубик расположен в середине конкретного ребра с вероятностью  (⅙)6·⅔·(⅓)11·(½)8.
  И, наконец, особый кубик может быть в конкретной вершине большого куба с вероятностью  (⅙)6·(⅓)12·(½)8.
  У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Поэтому

  б) Ни одной единицы нет на поверхности куба с вероятностью  
  Следовательно, хотя бы одна единица будет с вероятностью  

  в) Рассмотрим кубики, расположенные в центрах граней. Таких кубиков шесть. Введём индикаторы ξ1, ξ2, ..., ξ6:  ξk = 1,  если на k-м кубике видна шестёрка,  ξk = 0,  если шестёрка на ξk-м кубике не видна.
  Аналогично введём индикаторы шестёрок η1, η2, ..., η12 шестёрок для каждого из 12 кубиков, расположенных в серединах ребер. И, наконец, введём индикаторы шестёрок ζ1, ζ2, ..., ζ8 для 8 кубиков, расположенных в вершина большого куба. Тогда число шестёрок на поверхности большого куба равно сумме всех индикаторов:  X = ξ1 + ... + ξ6 + η1 + ... +η12 + ζ1 + ... + ζ8..
  Ожидания Eξk величин ξk равны между собой и равны  0·5/6 + 1·⅙ = ⅙.  Точно так же  Eηk = ⅓,  Eζk = ½.
  Следовательно,  EX = 6Eξ1 + 12Eη1 + 8Eζ1 = 9.

  г) Наружу выглядывают 54 грани, на каждой в среднем 3,5 очка. Итого  54·3,5 = 189.

  д) Введём для каждого числа очков k от 1 до 6 индикатор θk:  θk = 1,  если число очков k видно на поверхности куба хотя бы раз, и 0 в противном случае.
  Ожидание каждой такой величины найдено в пункте б):  
  Следовательно, ожидание EY случайной величины Y "число различных очков, видных на поверхности куба" равно  


Ответ

а)  ;   б)  ;   в) 9;   г) 189;  д)  .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2012
задача
Номер 11

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .