|
|
 |
Условие
Петя и ещё 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок
получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.
а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?
б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?
Решение
а) Предположим (исключительно для наглядности), что Петя бросает прежде всех. Он выбросил какое-то количество очков. Вероятность того, что каждый следующий игрок выбросит другое число очков, равна ⅚. Поскольку броски независимы, вероятность того, что девять оставшихся игроков выбросят не то, что Петя, равна (⅚)9 ≈ 0,194.
б) Пронумеруем игроков и рассмотрим события Aj = {j-й игрок получит приз}, где j
= 1, 2, ..., 10. Из а) видно, что P(Aj) = (⅚)9.
Вероятность того, что первые два игрока получат призы, находим аналогично:
Точно так же вероятность того, что первые k
игроков получат призы, равна , где k = 1, ..., 6.
Нас интересует вероятность события A = {хоть один игрок получит приз}. Это событие является объединением событий Aj: A = A1 ∪ A2
∪ ... ∪ A10. По формуле вероятности объединения событий (формуле включения-исключения) находим:
P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(A10) – (P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A3) + ... + P(A9 ∩ A10)) +
+ (P(A1 ∩ A2 ∩ A3) + P(A1 ∩ A2 ∩ A4) + ... + P(A8 ∩ A9 ∩ A10)) – ... – P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10).
Последнее слагаемое (с минусом) – вероятность одновременного выигрыша всех десяти. На самом деле, больше пяти игроков выиграть не могут, поэтому все слагаемые, где есть вероятности одновременного выигрыша шести и более игроков, равны нулю. Заметим ещё, что в каждой строке слагаемые
одинаковы, а их число равно , где k = 1, ..., 5 – номер строки.
Итак,
Ответ
а) (⅚)9 ≈ 0,194; б) ≈ 0,919.
Замечания
Удивительно, но вероятность того, что выиграет хотя бы один игрок, весьма велика.
