|
|
 |
Условие
Точка выходит из начала координат на прямой и делает a шагов на единицу вправо, b шагов на единицу влево в каком-то порядке, причём a > b. Размахом блуждания точки назовём разность между наибольшей и
наименьшей координатами точки за всё время блуждания.
а) Найдите наибольший возможный размах блуждания.
б) Найдите наименьший возможный размах.
в) Сколько существует различных последовательностей движения точки, при которых размах блуждания будет наибольшим возможным?
Решение
б) В конце своего пути точка неизбежно (каков бы ни был порядок шагов вправо и влево) имеет координату a – b.
Значит, размах не может быть меньше a – b.
Такой размах получается, например, так: точка движется вправо-влево ровно b раз, а затем a – b раз вправо.
а) Пусть наименьшая координата точки за все время блуждания равна x ≤ 0. До момента t, когда точка впервые достигла этого положения, она не могла быть в точках с координатами, большими x + b. После момента t она не могла быть в точках с координатами, большими x + a. Значит, наибольший размах не превышает a.
Такой размах получается, например, если точка сначала делает a шагов вправо.
в) Как видно из а), наибольший размах получается, если все шаги вправо точка делает подряд. Первый шаг вправо может быть по счету первым, вторым и так далее до номера b + 1 (сначала b шагов влево, а затем все шаги вправо). Таким образом, всего b + 1 способ.
Ответ
а) a; б) a – b; в) b + 1.
