|
|
 |
Условие
На рисунке показано платежное поручение на оплату электричества некоторой энергосбытовой компании.
Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая
полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В
данном примере клиент заплатит 660 р.72 коп.
Компания ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от клиента. Проблема состоит в том, что компания иногда путает полученные шесть чисел, переставляя их произвольном порядке, правда, следит за тем, чтобы текущее показание оставалось больше, чем предыдущее. В результате расчёт компании может оказаться ошибочным. Если компания считает, что клиент должен больше, чем он заплатил, компания требует доплатить разность.
Пользуясь данными изображенной квитанции, найдите:
а) максимально возможную сумму доплаты за март 2013 года, которую компания потребует у клиента;
б) математическое ожидание разности между суммой, которую насчитает компания, и суммой, которую заплатил клиент.
Решение
а) Очевидно, что сумма, которую потребует компания, будет наибольшей, если расход по самому высокому тарифу будет наибольшим возможным, по среднему – наибольшим возможным из оставшихся. Наибольшая возможная сумма при этом равна 4,03·(1402 – 1214) + 3,39·(1347 – 1270) + 1,01·(1337 – 1298) = 1058,06 (руб.). Компания потребует доплатить 1058,06 – 660,72 = 397,34 (руб.).
б) Решим задачу в общем виде, считая, что клиент передал шесть различных чисел a < b < c < d < e < f. Рассмотрим одну из тарифных зон (например, пик). Для этой зоны можно выбрать два любых числа из данных шести и поставить их в соответствующем порядке – по возрастанию. Это можно сделать способами. По условию все способы равновозможны. Поэтому математическое ожидание EX1 случайной величины X1 "Расход по тарифу Пик" есть среднее арифметическое
пятнадцати чисел: f – e, f – d, f – c, f – b, f – a, e – d, e – c, e – b, e – a, d – c, d – b, d – a,
c – b, c – a, b – a, то есть EX1 = 1/15 (5f + 3e + d – c – 3b – 5a).
Очевидно, такое же ожидание имеют случайные величины X2 и X3 "Расход по тарифу Ночь" и "Расход по тарифу
Полупик". Полная сумма оплаты S, рассчитанная компанией, равна t1X1 + t2X2 + t3X3, где t1, t2 и t3 – цены одного киловатт-часа по соответствующим тарифам. Следовательно,
ES = t1EX1 + t2EX2 + t3EX3 = 1/15 (5f + 3e + d – c – 3b – 5a)(t1 + t2 + t3).
В нашем случае f = 1402, e = 1347, d = 1337, c = 1298, b = 1270, a = 1214; t1 + t2 + t3
= 4,03 + 1,01 + 3,39 = 8,43. Таким образом,
ES = 1/15 (5·1402 + 3·1347 + 1337 – 1298 – 3·1270 – 5·1214)·8,43 = 1210/15·8,43 = 680,02.
Математическое ожидание разности между суммой, которую потребует сбытовая компания и суммой, которую заплатит клиент, равно
ES – 660,72 = 680,02 – 660,72 = 19,03 (руб.)
Ответ
а) 397 руб. 34 коп.; б) 19 руб. 3 коп.
