|
|
 |
Условие
В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина – Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы максимизировать вероятность своей победы на первом туре?
Решение
Предположим, что всего в Анчурии 2n избирателей. Можно разделить их на округа так что в каждом округе ровно половина избирателей — приверженцы Мирафлореса. При этом условии вероятность, что победы Мирафлореса в первом туре равна ½·½ = ¼.
Теперь предположим, что в одном из округов меньше половины избирателей голосует за Мирафлореса. Такой округ назовем оппозиционным. Тогда в другом округе больше половины избирателей – за Мирафлореса.
Если в оппозиционном округе m избирателей (m < 2n), то число избирателей, голосующих за Мирафлореса в этом округе, не превосходит m/2 – 0,5. Поэтому вероятность победы Мирафлореса в оппозиционном округе не
больше
Вероятность победы Мирафлореса в неоппозиционном округе не превосходит 1. Значит, вероятность победы Мирафлореса в первом туре не больше Достичь такой вероятности можно если Мирафлорес отнесет к неоппозиционному округу единственного избирателя – своего приверженца. Тогда в оппозиционном округе окажется 2n – 1 избирателей, из которых n
– 1 избиратель голосует за Мирафлореса.
Ответ
Один округ должен состоять из одного Мирафлореса, а второй – из всех остальных избирателей.
Замечания
При таких правилах победа Мирафлореса – лишь дело времени. Проиграть он не может, поскольку каждый раз округ, состоящий из одного человека, голосует против Дика Малони. Таким образом, Малони ни на каком туре не сможет победить. Значит, в конце концов победит Мирафлорес.
