|
|
 |
Условие
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются n гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью p (0 < p < 1). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно k гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
Решение
Пусть q = 1 – p – вероятность того, что гномик не упадёт от испуга (хотя, может быть, упадёт, но не от испуга, а от того, что на него кто-то свалился сверху).
а) Ровно k гномиков упадёт, только если упадёт от испуга k-й гномик, считая снизу, и не упадёт ни один из n – k гномиков, находящихся выше. Значит, искомая вероятность равна pqn–k = p(1 – p)n–k.б) Используем индикаторы. Пусть случайная величина Ij равна 1, если j-й гномик падает и 0, если он не падает. Вероятность того, что j-й гномик не упадёт, равна вероятности того, не упадёт он сам и не упадёт никто из j – 1 гномиков, расположенных выше: P(Ij = 0) = qj. Следовательно,
EIj = P(Ij = 1) = 1 – q.
Общее числа упавших гномиков равно сумме всех индикаторов, значит, ожидание этой величины равно
Ответ
а) p(1 – p)n–k; б) .
Замечания
Индикатором события называется случайная величина, которая равна единице, если событие произошло или нулю, если событие не произошло. Математическое ожидание индикатора равно вероятности этого события.
