Задача 65357

Темы:    [ Непрерывное распределение ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Признаки перпендикулярности ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Башня в замке короля Артура увенчана крышей, которая представляет собой треугольную пирамиду, у которой все плоские углы при вершине – прямые. Три ската крыши покрашены в разные цвета. Красный скат крыши наклонён к горизонтали под углом α, а синий – под углом β. Найдите вероятность того, что дождевая капля, вертикально упавшая на крышу в случайном месте, упала на зелёный скат.

Решение

  Естественно считать, что капля падает на крышу случайно в том смысле, что вероятность попадания её в какую-то область крыши пропорциональна площади проекции этой области на горизонтальную поверхность. Тогда нас должны интересовать площади проекций скатов на треугольное основание крыши.

  Обозначим площадь зелёного ската S_g. Тогда площадь S_ORB проекции этого ската на плоскость треугольника RBG, лежащего в основании крыши, равна
S_g cos γ,  где γ – неизвестный нам угол наклона синего ската.
  Пусть  S = S_RGB.  Из условия следует, что каждое ребро пирамиды перпендикулярно боковой грани, в которой оно не лежит. Поэтому  S_g = S cos γ.  Следовательно,  S_ORB = S cos²γ.
  Искомая вероятность равна  
  Осталось найти cos²γ. Проведя аналогичные выкладки, найдем:  S_OBG = S cos²α,  S_ORG = S cos²β.  Значит,  S = S(cos²α + cos²β + cos²γ),  откуда
cos²α + cos²β + cos²γ = 1.  Следовательно,  cos²γ = 1 – cos²β – cos²α.

Ответ

1 – sin²β – cos²α.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2013
задача
Номер	17