Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

   Решение

Тема:    [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^u₁2^v₁ + 3^u₂2^v₂ + ... + 3^u_k2^v_k,  где  u₁ > u₂ > ... > u_k ≥ 0  и  0 ≤ v₁ < v₂ < ... < v_k  – целые числа.

Решение

  Индукция. База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции. Пусть  n = 2m.  Число m можно представить в указанном виде. Увеличив все v_i на 1, получим представление числа n.
  Пусть n нечётно. Возьмём  v₀ = 0.  Рассмотрим наибольшее u₀, при котором  3^u₀ ≤ n.  Если неравенство строгое, то представим число  l = n – 3^u₀  в указанном виде. При этом  v₁ > 0,  поскольку l чётно, а  u₁ < u₀,  потому что  l < 3^u₀+1 – 3^u₀ = 2·3^u₀.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования