Задача 65397

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Кожевников П.А.

В треугольнике ABC биссектриса AL, серединный перпендикуляр к стороне AB и высота BK пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектриса AL, серединный перпендикуляр к AC и высота CH, также пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть M – середина стороны AB, P – точка пересечения указанных в условии прямых. Прямоугольные треугольники APK и APM равны (по гипотенузе и острому углу), поэтому  AK = AM = ½ AB.  В прямоугольном треугольнике ABK катет равен половине гипотенузы, значит,  ∠A = 60°.  Пусть теперь N – середина AC, а – точка пересечения высоты CH и серединного перпендикуляра к AC. Тогда треугольник AQC равнобедренный, поэтому  ∠QAN = ∠QCN = 90° – ∠A = 30°,  то есть AQ – биссектриса угла A.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1