Задача 65400

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

Решение

  Удобнее решить задачу в общем виде: покажем, что на доске  (2n+1)×(2n+1)  (n > 1)  ответ 4n. (Рисунок соответствует случаю  n = 3.)
  Пример. Отметим клетки по периметру прямоугольника  (2n–1)×3,  как показано на рисунке. При этом на длинных диагоналях (из более чем  n + 1  клетки) отмечено по две клетки. Только четыре клетки доски (они закрашены на рисунке) не лежат на длинных диагоналях, но и для них требуемое условие выполнено.

  Оценка. Расставим 8n слонов во всех клетках по периметру доски. При этом каждая клетка доски бьётся не более чем четырьмя слонами. Поскольку каждый слон должен бить не менее двух отмеченных клеток, отметить придётся не менее  8n·2 : 4 = 4n   клеток.

Ответ

28 клеток.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4