Задача 65417

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке.
Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.

Решение

Обозначим вершины так, как показано на рисунке. Заметим, что  OA = OX,  OB = OY,  а  ∠AOB + ∠XOY = 360° – 60° – 120° = 180°,  откуда
cos∠XOY = – cos∠AOB.  Поскольку площадь равностороннего треугольника со стороной t равна    достаточно доказать, что
AB² + XY² = 2(AO² + BO²).  По теореме косинусов для треугольников ABO и XYO имеем  AB² = OA² + OB² – 2OA·OB cos∠AOB,
XY² = OX² + OY² – 2OX·OY cos∠XOY.  Складывая эти два равенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2015
задача
Номер	6