Задача 65418

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Первый член бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел равен 1.
Докажите, что среди её членов можно найти 2015 последовательных членов геометрической прогрессии.

Решение

Пусть разность прогрессии равна  a – 1  (то есть второй член прогрессии равен a). Покажем, что тогда среди её членов можно найти числа 1, a, a², a³, ..., a²⁰¹⁴. Действительно, поскольку  a^k = 1 + (a – 1)(1 + a + a² + ... + a^k–1),  то число a^k встретится в исходной арифметической прогрессии на месте с номером  2 + a + … + a^k–1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2015
задача
Номер	7