Задача 65424

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

На доске записаны числа 20 и 100. Разрешается дописать на доску произведение любых двух имеющихся на ней чисел. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число 50...0 (2015 нулей)?

Решение

Так как  20 = 2²·5,  100 = 2²·5²,  то изначально на доске записаны числа, в разложении которых простые множители двоек не меньше, чем пятерок. При умножении двух чисел, обладающим этим свойством, получится число с этим же свойством, то есть оно будет выполняться для всех чисел, записанных на доске. В разложении числа 50...0 на простые множители количество пятерок на 1 больше, чем количество двоек, поэтому его получить нельзя.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2.3