Задача 65441
|
|
 |
Условие
Отец говорит сыну:
– Сегодня у нас у обоих день рождения, и ты стал ровно в 2 раза моложе меня.
– Да, и это восьмой раз за мою жизнь, когда я моложе тебя в целое число раз.
Сколько лет сыну, если отец не старше 75 лет?
Решение
Пусть, когда сын родился, отцу было N лет. Когда сыну k лет, отцу – N + k. Это число делится k на тогда и только тогда, когда N делится на k. Таким образом, задача сводится к подбору числа N, у которого ровно 8 делителей. При этом 2N не больше 75, то есть N ≤ 37.
Числа, имеющие 8 делителей, могут быть представлены в одном из трех видов: p7, p³q, pqr (где p, q и r – простые числа). Перебором устанавливается, что только числа: 24 = 2³·3 и 30 = 2·3·5 имеют 8 делителей и не превосходят 37.
Ответ
30 лет или 24 года.
