ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65441
Темы:    [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шноль Д.Э.

Отец говорит сыну:
– Сегодня у нас у обоих день рождения, и ты стал ровно в 2 раза моложе меня.
– Да, и это восьмой раз за мою жизнь, когда я моложе тебя в целое число раз.
Сколько лет сыну, если отец не старше 75 лет?


Решение

  Пусть, когда сын родился, отцу было N лет. Когда сыну k лет, отцу –  N + k.  Это число делится k на тогда и только тогда, когда N делится на k. Таким образом, задача сводится к подбору числа N, у которого ровно 8 делителей. При этом 2N не больше 75, то есть  N ≤ 37.
  Числа, имеющие 8 делителей, могут быть представлены в одном из трех видов: p7, p³q, pqr (где p, q и r – простые числа). Перебором устанавливается, что только числа:  24 = 2³·3  и  30 = 2·3·5  имеют 8 делителей и не превосходят 37.


Ответ

30 лет или 24 года.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 7 (2009 год)
Дата 2009-03-1
класс
Класс 6 класс
задача
Номер 6.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .