ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65455
Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.


Решение

Пусть в раунде показано k "камней" и n "ножниц". Нетрудно убедиться, что общее количество баллов в этом раунде по модулю 3 сравнимо с  n – k.  Суммируя по всем раундам, получим, что сумма баллов по модулю 3 сравнима с 0, так как всего "камней" и "ножниц" показано поровну.

Замечания

1. Как видно из решения, достаточно потребовать равенства количеств двух элементов по модулю 3. Впрочем, остальные равенства по модулю 3 из этого следуют.

2. Баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .