|
|
 |
Условие
Трое играют в "камень-ножницы-бумагу". В каждом раунде каждый наугад показывает "камень", "ножницы" или "бумагу". "Камень" побеждает "ножницы", "ножницы" побеждают "бумагу", "бумага" побеждает "камень". Если в раунде было показано ровно два различных элемента (и значит, один из них показали дважды), то игроки (или игрок), показавшие победивший элемент, получают по 1 баллу; иначе баллы никому не начисляются. После нескольких раундов оказалось, что все элементы были показаны одинаковое количество раз. Докажите, что в этот момент сумма набранных всеми баллов делилась на 3.
Решение
Пусть в раунде показано k "камней" и n "ножниц". Нетрудно убедиться, что общее количество баллов в этом раунде по модулю 3 сравнимо с n – k. Суммируя по всем раундам, получим, что сумма баллов по модулю 3 сравнима с 0, так как всего "камней" и "ножниц" показано поровну.
Замечания
1. Как видно из решения, достаточно потребовать равенства количеств двух элементов по модулю 3. Впрочем, остальные равенства по модулю 3 из этого следуют.
2. Баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4.
