ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65457
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Средние величины ]
[ Правило произведения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь m разных городов за m перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более m тугриков, если
  а)  m = 99;
  б)  m = 100?


Решение

  а) Пусть все 99 рейсов из родного города стоят по 49,6 тугриков. Это возможно, поскольку суммарная стоимость всех рейсов (без учёта направлений) равна 99·50 тугриков. Тогда, чтобы вылететь из родного города, а потом вернуться в него, надо уже потратить больше 99 тугриков.

  б) Рассмотрим все 99! вариантов кольцевых маршрутов. Суммарно в них каждый возможный перелёт (с учётом направлений) использован по 98! раз. Следовательно, стоимость всех этих маршрутов равна 98!·99·100 тугриков, а средняя стоимость маршрута – 100 тугриков. Значит, найдётся маршрут не дороже 100 тугриков.


Ответ

а) Не всегда;  б) всегда.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 3 + 3, 10-11 кл. – 2 + 2

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .