|
|
 |
Условие
Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?
Решение
Пример 1. 1, 2 + 3 + 4, 5 + ... + 13, ..., ½ (3n + 1) + ... + ½ (3n+1 – 1), ... = 1, 9, 81, ..., 9n, ...
Пример 2. 3, 5 + 7, ..., (2n + 1) + ... + (2n+1 – 1), ... = 3, 12, ..., 3·4n–1, ...
Ответ
Могла.
Замечания
1. Пример 2 имеет геометрическую интерпретацию. Рассмотрим следующее разбиение плоскости на уголки (рис. слева). Площади уголков образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, ... Отбросив первый член и объединив уголки, как показано на рис. справа, мы получим геометрическую прогрессию площадей: каждый следующий уголок разбивается на четыре предыдущих.
2. 5 баллов.
