ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65460
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жуков Г.

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?


Решение

Пример 1.  1,  2 + 3 + 4,  5 + ... + 13,  ...,  ½ (3n + 1) + ... + ½ (3n+1 – 1),  ... = 1, 9, 81, ..., 9n, ...
Пример 2.  3,  5 + 7,  ...,  (2n + 1) + ... + (2n+1 – 1),  ... = 3, 12, ..., 3·4n–1, ...


Ответ

Могла.

Замечания

1. Пример 2 имеет геометрическую интерпретацию. Рассмотрим следующее разбиение плоскости на уголки (рис. слева). Площади уголков образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, ... Отбросив первый член и объединив уголки, как показано на рис. справа, мы получим геометрическую прогрессию площадей: каждый следующий уголок разбивается на четыре предыдущих.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .