Задача 65468

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Геометрическая прогрессия состоит из 37 натуральных чисел. Первый и последний члены прогрессии взаимно просты.
Докажите, что 19-й член прогрессии является 18-й степенью натурального числа.

Решение

Пусть a – первый член прогрессии, а несократимая дробь ^m/_n – её знаменатель (из условия ясно, что он рационален). Тогда последний член равен am³⁶n^–36, то есть a делится на  n³⁶ :  a = bn³⁶.  По условию числа bn³⁶ и bm³⁶ взаимно просты, значит,  b = 1.  Следовательно, 19-й член равен m¹⁸n¹⁸.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2015/16
Номер	37
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
задача
Номер	1