|
|
 |
Условие
Дан клетчатый квадрат 10×10. Внутри него провели 80 единичных отрезков по линиям сетки, которые разбили квадрат на 20 многоугольников равной площади. Докажите, что все эти многоугольники равны.
Решение
У многоугольников разбиения площадь равна 5. При этом сумма их периметров равна 40 + 2·80 = 200, значит, средний периметр – 10. Поэтому достаточно доказать, что существует единственный пятиклеточный многоугольник с периметром не больше 10.
Первый способ. Периметр такого многоугольника равен сумме периметров пяти клеток минус удвоенное количество общих границ, соединяющих клетки. Значит, на пять клеток приходится не менее пяти соединений. Поэтому найдётся цикл из клеток многоугольника. Но тогда он содержит квадрат 2×2, любое добавление клетки к которому даст один и тот же многоугольник периметра 10.
Второй способ. По формуле Пика площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой доски равна a + b/2 – 1, где a – количество узлов внутри многоугольника, а b – на его границе. В нашем случае b равно периметру. Подставляя данные в формулу, получим a ≥ 1. Значит, наш многоугольник содержит квадрат 2×2 с центром во внутреннем узле.
Замечания
6 баллов
