ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65472
Темы:    [ Шар и его части ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
  а)  h = 17 см;
  б)  h = 18 см?


Решение

  Если арбуз распался на части, то и его поверхность распалась на части. Поэтому достаточно провести на сфере три дуги нужных размеров так, чтобы она не распалась на части. Точки пересечения пар плоскостей надрезов со сферой назовём узлами, у нас их будет шесть. Очевидно, дуги могут соединяться только в узлах.

  а) Пусть плоскости трёх надрезов проходят через центр O шара. Они пересекают сферу по большим окружностям. Узлы делят каждый из них на четыре равные части. Пусть концы дуги одного разреза – A и B. Треугольник OAB – равнобедренный с боковыми сторонами 10 и высотой 7. Половина его основания равна    поэтому угол AOB – тупой. Значит, надрез можно провести так, чтобы он прошел только через два узла.
  Разобьём узлы на пары соседних. Тогда дуги вообще не пересекутся, значит, сфера не распадётся.

  б) Пусть одна плоскость надреза проходит через центр O шара, а две другие – на расстоянии    от O. Первая пересекает шар по кругу радиуса 10, две другие – по кругам радиуса   . Эти два малых круга пересекают большой круг перпендикулярными диаметрами X+X и Y+Y (см. рис.).

  Дуга назреза в большом круге должна опираться на хорду длины 12, что больше расстояния    между узлами X+ и Y+. Поэтому надрез в нём можно провести так, чтобы он проходил только через узлы X и Y. В одном малом круге проведём надрез, не проходящий через узел Z, в другом – Z+. Это возможно, поскольку их диаметры больше 18. Тогда все дуги надрезов, не считая незначащих хвостов, образуют криволинейную ломаную X+Z+XYZY+ без самопересечений. Значит, сфера не распадётся.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

1. Легко проверить, что конструкция п. б) позволяет проводить надрезы даже глубиной  h = 18,9 см  без разделения арбуза на части. Можно показать, что при  h = 19 см  уже никакая конструкция не поможет – арбуз развалится.

2.Баллы: 6 + 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .