ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65478
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Около единичного квадрата ABCD описана окружность, на которой выбрана точка М.
Какое наибольшее значение может принимать произведение MA·MB·MC·MD?


Решение

  Пусть М не совпадает ни с одной из вершин квадрата (иначе, значение произведения равно нулю и не может быть наибольшим) и лежит на дуге ВС, O – центр описанной окружности (см. рис.). Заметим, что  ∠АМВ = ½ ∠АОВ = 45°.  Так как  SAMB = ½ MA·MB sin∠AMB,  то  MA·MB = 2SAMB/sin 45°.  Аналогично  MC·MD = 2SCMD/sin 45°,  значит,  MA·MB·MC·MD = 8SAMB· SCMD.

  Обозначим через x расстояние от точки М до прямой АВ, тогда расстояние от М до прямой CD равно  1 – x.  Значит,  SAMB = ½ АВ·x = x/2,  а
SCMD = ½ CD· (1 – x) = ½ (1 – x).  Таким образом,  MA·MB·MC·MD = 2x(1 – x).  Так как  0 < x < 1,  то полученное выражение принимает наибольшее значение при  x = ½.  Это значение равно ½.


Ответ

0,5.

Замечания

Искомое наибольшее значение достигается, если М – середина любой из четырёх дуг, стягиваемых сторонами квадрата.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .