ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65482
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Малые шевеления ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости проведены n прямых так, что каждые две пересекаются, но никакие четыре через одну точку не проходят. Всего имеются 16 точек пересечения, причём через 6 из них проходят по три прямые. Найдите n.


Решение

"Пошевелим" данную конструкцию таким образом, чтобы по-прежнему каждые две прямые пересекались, но никакие три не проходили через одну точку. Тогда, если какие-то три прямые пересекались в некоторой точке О, то теперь вместо одной точки О появятся три точки попарного пересечения этих прямых. Значит, в результате "шевеления" исходное количество прямых не изменится, а количество точек пересечения увеличится на  2·6 = 12.  В итоге, все прямые будут пересекаться попарно, а точек пересечения станет  16 + 12 = 28.  Таким образом,  ½ n(n – 1) = 28,  откуда  n = 8.


Ответ

n = 8.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .