Задача 65493

Темы:    [ Обыкновенные дроби ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Условие

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

Решение

Пусть звёздочкой заменено натуральное число $x$. Проведём ряд преобразований: $$\frac{20}{x} - \frac{x}{15} = \frac{20}{15}, \quad \frac{300 - x \cdot x}{15 x} = \frac{20}{15}, \quad \frac{300 - x \cdot x}{x} = 20.$$

Поскольку $x$ – натуральное число, то числитель левой дроби должен быть кратен $10$. При этом $300 - x \cdot x > 0,$ значит, $x < 20.$ Числитель кратен $10$ тогда и только тогда, когда $x$ кратно $10$, откуда $x = 10$.

Ответ

$$\frac{20}{10} - \frac{10}{15} = \frac{20}{15}$$.

Замечания

На самом деле задача сводится к квадратному уравнению, которое имеет еще и корень $-30$.

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	6
задача
Номер	6.1