ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65497
Тема:    [ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На школьный Новогодний праздник в городе Лжерыцарске пришёл 301 ученик. Из них некоторые всегда говорят правду, а остальные – всегда лгут. Каждый из 200 школьников сказал: "Если я выйду из зала, то среди оставшихся учеников большинство будет лжецами". Каждый из остальных школьников заявил: "Если я выйду из зала, то среди оставшихся учеников лжецов будет вдвое больше, чем говорящих правду". Сколько лжецов было на празднике?


Решение

  Назовём тех, кто говорит правду, рыцарями. Высказывание каждого из двухсот школьников будем считать первой фразой, а высказывание оставшихся – второй.

  Первый способ. Заметим, что не все школьники – лжецы, иначе первую фразу было бы произносить некому.
  Если вторую фразу произнес рыцарь, то на празднике – 200 лжецов и 101 рыцарь. Тогда среди произносивших первую фразу есть лжецы. Но в этом случае лжец не мог сказать, что если он выйдет из зала, то среди оставшихся учеников большинство будет лжецами. Значит, среди тех, кто произнес вторую фразу, рыцарей нет.
  Если первую фразу произнес рыцарь, то рыцарей не больше чем 150. Значит, найдётся лжец, сказавший первую фразу. Но тогда лжецов не больше чем 151. Так как всего учеников 301, то среди них в точности 150 рыцарей и 151 лжец.

  Второй способ Среди произнесших первую фразу должны быть как рыцари, так и лжецы. Действительно, если бы они все были рыцарями, то это высказывание оказалось бы ложным, так как  199 > 101,  а если бы они все были лжецами, то получилось бы, что они сказали правду. Значит, первую фразу произносили и лжецы, и рыцари. Если первую фразу произнес лжец, то лжецов не больше чем 151. Если первую фразу произнес рыцарь, то лжецов не меньше чем 151. Значит, на празднике – 151 лжец.

Ответ

151 лжец.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 6
задача
Номер 6.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .