Задача 65509

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена произвольная точка M. Докажите, что можно выбрать на стороне AB точку C₁, на стороне BC – точку A₁, а на стороне AC – точку B₁ таким образом, чтобы длины сторон треугольника A₁B₁C₁ были равны отрезкам MA, MB и MC.

Решение

Отметим на стороне AB точку C₁, на стороне BC точку A₁, а на стороне AC точку B₁ таким образом, что  MC₁ || BC,  MA₁ || AC,  MB₁ || AB  (см. рис.). Тогда отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ разобьют данный треугольник на три трапеции. Из параллельности следует, что каждый угол при большем основании этих трапеций равен 60°, поэтому эти трапеции равнобокие. Следовательно, в каждой трапеции диагонали равны:  B₁C₁ = MA,  A₁C₁ = MB,  A₁B₁ = MC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5