|
|
 |
Условие
Даны три квадратных трёхчлена: x² + b1x + c1, x² + b2x + c2 и x² + ½ (b1 + b2)x + ½ (c1 + c2). Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).
Решение
Обозначим данные квадратные трёхчлены через f1, f2 и f3 соответственно. Тогда 2f3 = f1 + f2, а f1 + f2 + f3 = 3/2 (f1 + f2). По условию трёхчлен
3/2 (f1 + f2) имеет корни. Значит, имеет корни и трёхчлен f3.
Осталось доказать, что хотя бы один из первых двух трёхчленов имеет корни. Предположим, что это не так и корней ни у одного из них нет. Поскольку оба трёхчлена – приведённые, то они принимают только положительные значения, следовательно, их сумма также принимает только положительные значения, то есть не может иметь корней. Противоречие.
