ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65519
Тема:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны три квадратных трёхчлена:  x² + b1x + c1x² + b2x + c2  и  x² + ½ (b1 + b2)x + ½ (c1 + c2).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).


Решение

  Обозначим данные квадратные трёхчлены через f1, f2 и f3 соответственно. Тогда  2f3 = f1 + f2,  а  f1 + f2 + f3 = 3/2 (f1 + f2).  По условию трёхчлен
3/2 (f1 + f2)  имеет корни. Значит, имеет корни и трёхчлен f3.
  Осталось доказать, что хотя бы один из первых двух трёхчленов имеет корни. Предположим, что это не так и корней ни у одного из них нет. Поскольку оба трёхчлена – приведённые, то они принимают только положительные значения, следовательно, их сумма также принимает только положительные значения, то есть не может иметь корней. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .