ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65520
Тема:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?


Решение

  Пусть к рассматриваемому моменту турнира x шахматистов сыграло по три партии, а  50 – x  – по две. Поскольку в каждой партии участвуют два шахматиста, то суммарное количество сыгранных к этому моменту партий равно  ½ (3x + 2(50 – x)).  Из уравнения  ½ (3x + 2(50 – x)) = 61  находим
x = 22.
  Предположим, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой. Тогда все игры, которые они провели, были сыграны с шахматистами, сыгравшими по две партии. Таких игр  3·22 = 66 > 61,  что противоречит условию.


Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 10
задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .