|
|
 |
Условие
Функции f и g определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что f представляется в виде суммы линейной и периодической функций: f(x) = kx + h(x), где k – число, h – периодическая функция. Доказать, что g также представляется в таком виде.
Решение
Заметим, что k ≠ 0 (иначе значения f(x) периодически повторяются, а у функции, имеющей обратную, такого быть не должно).
Пусть t – период функции h. Условие означает, что функция f(x) – kx периодична с периодом t, что равносильно тождеству f(x + t) = f(x) + kt. (*)
Положим T = kt и проверим, что функция g удовлетворяет тождеству g(y + T) = g(y) + T/k (это и значит, что g – сумма функции с периодом T и линейной функции y/k).
Обозначим x = g(y), тогда y = f(x). Используя (*) и равенство g(f(x + t)) = x + t, имеем g(y + T) = g(f(x) + kt) = g(f(x + t)) = x + t = g(y) + T/k.
Замечания
4 балла
