ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65562
Тема:    [ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Функции  f и g определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что  f представляется в виде суммы линейной и периодической функций:  f(x) = kx + h(x),  где k – число, h – периодическая функция. Доказать, что g также представляется в таком виде.


Решение

  Заметим, что  k ≠ 0  (иначе значения  f(x) периодически повторяются, а у функции, имеющей обратную, такого быть не должно).
  Пусть t – период функции h. Условие означает, что функция  f(x) – kx  периодична с периодом t, что равносильно тождеству  f(x + t) = f(x) + kt.   (*)
  Положим  T = kt  и проверим, что функция g удовлетворяет тождеству  g(y + T) = g(y) + T/k  (это и значит, что g – сумма функции с периодом T и линейной функции y/k).
  Обозначим  x = g(y),  тогда  y = f(x).  Используя (*) и равенство  g(f(x + t)) = x + t,  имеем  g(y + T) = g(f(x) + kt) = g(f(x + t)) = x + t = g(y) + T/k.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .