Задача 65566
|
|
 |
Условие
Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.
Решение 1
Пусть S – симметрия относительно биссектрисы угла AOD. Она переводит первую из данных окружностей Ω1 в окружность Ω, вписанную в угол COD. Рассмотрим инверсию I с центром O, меняющую местами окружности Ω и вторую данную окружность Ω2. Композиция H = I°S переводит Ω1 в Ω2. Заметим, что I°S = S°I: симметрия переставляет проходящие через O прямые, но не меняет расстояний, а инверсия одинаково меняет расстояния до O, не переставляя прямых. Поэтому H переводит также Ω2 в Ω1, следовательно, переводит в себя пересечение окружностей Ω1 и Ω2 – пару точек E и F. На месте остаться обе точки не могли: это означало бы, что обе они находились на указанной биссектрисе и на одном расстоянии от O, то есть совпадали. Значит, H меняет их местами, тем самым прямые OE и OF симметричны относительно указанной биссектрисы.Решение 2
Пусть O1, O2 – центры окружностей, r1, r2 – их радиусы. Проведём биссектрису угла AOD (она же – биссектриса угла O1OO2). Пусть она пересекает отрезок O1O2 в точке K. Поскольку KO1 : KO2 = OO1 : OO2 = r1 : r2 = EO1 : EO2 = FO1 : FO2, то точки E, F, O, K принадлежат одной и той же окружности Аполлония точек O1 и O2. Поскольку O1O2 – серединный перпендикуляр к EF, то равны хорды этой окружности EK и FK. Значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы EOK и FOK, откуда равенство углов AOE и DOF немедленно следует.Замечания
8 баллов
