ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65585
Темы:    [ Углы между биссектрисами ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?


Решение

  Рассмотрим пирог в виде треугольника АВС, в котором проведены биссектрисы АМ, ВР и СK. Пусть I – точка их пересечения, а углы обозначены так, как показано на рис.

  Без ограничения общности можно считать, что Игорю достался кусок в виде треугольника BIK. Рассмотрим его углы. Заметим, что  ∠IBK = β < 90°.  Так как угол BIK – внешний для треугольника BIC, то  ∠BIK = β + γ = 90° – α < 90°.  Следовательно, прямым мог быть только угол BKI. Значит, биссектриса CK треугольника является и его высотой, поэтому треугольник АВС – равнобедренный.


Ответ

Прав.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .