Задача 65588

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Высота АН треугольника АВС равна его медиане ВМ. На продолжении стороны АВ за точку В отложена точка D так, что  BD = AB.  Найдите угол BCD.

Решение

  Из точки М опустим перпендикуляр МЕ на сторону ВС.  МЕ || АН,  значит, МЕ – средняя линия треугольника АНС (см. рис.). Следовательно,
МЕ = ½ АН = ½ BM.
  В прямоугольном треугольнике ВМЕ катет МЕ равен половине гипотенузы ВМ, поэтому  ∠MBE = 30°.  Кроме того, ВМ – средняя линия треугольника ACD, поэтому  BM || CD.  Значит,  ∠BCD = ∠MBC = 30°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2.2