Задача 65593

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Иррациональные неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Известно, что  а > 1.  Обязательно ли имеет место равенство   = ?

Решение

  Так как  а > 1,  то найдётся такое натуральное число n, что  n⁴ ≤ a < (n + 1)⁴.  Следовательно,  n² ≤ < (n + 1)²,  а  n ≤ < n + 1.  Таким образом,   = n.
  С другой стороны,  n² ≤ < (n + 1)²,  поэтому n ≤ < n + 1,  то есть   = n.
  Значит, указанное равенство действительно имеет место.

Ответ

Обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4.1