ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65595
Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Напомним, что игра в "морской бой" начинается с того, что на доске размером 10×10 клеток расставляют один "корабль" из четырёх клеток, два – из трёх клеток, три – из двух, и четыре одноклеточных (такие, как на рисунке). По правилам "корабли" не должны касаться, даже углами. До какого наименьшего размера можно уменьшить квадратное поле для игры, сохранив это правило?


Решение

  Один из возможных примеров расстановки см. на рисунке.

  Докажем, в квадрате размером 6×6 осуществить требуемую расстановку невозможно.

  Первый способ. Любую вершину клетки назовём узлом. Подсчитаем количество узлов, которые в сумме должны занять все "корабли":
10·1 + 8·2 + 6·3 + 4·4 = 60.
  В квадрате размером 6×6 есть только  7·7 = 49  узлов (включая узлы на границе). Следовательно, какие-то узлы должны стать для "кораблей" общими, а это противоречит условию.

  Второй способ. Разобьём квадрат размером 6×6 на 9 квадратов размером 2×2. В каждом таком квадрате может находиться не более одного "корабля", но всего "кораблей" – 10. Значит, их расставить не удастся (даже, если они все будут одноклеточными!).


Ответ

До квадрата 7×7.

Замечания

Отметим, что в квадрате 7×7 можно поставить еще один "лишний" одноклеточный "корабль".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 8
задача
Номер 8.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .