|
|
 |
Условие
Равносторонний треугольник со стороной 8 разделили на равносторонние треугольнички со стороной 1 (см. рис.). Какое наименьшее количество треугольничков надо закрасить, чтобы все точки пересечения линий (в том числе и те, что по краям) были вершинами хотя бы одного закрашенного треугольничка?
Решение
Всего точек пересечения линий 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45, а у треугольничка три вершины, так что по крайней мере 45 : 3 = 15 треугольничков придётся закрасить.
Пример с 15 треугольничками см. на рисунке.
Ответ
15 треугольничков.
Замечания
1. Можно показать, что существует только один (с точностью до осевой симметрии) способ закрасить 15 треугольничков.
2. В найденной нами раскраске ни одна вершина не закрашена дважды. Сторона 8 большого треугольника – минимальная, при которой такое "экономное" закрашивание возможно. Оно заведомо невозможно, если длина стороны кратна 3. Более сложный вариант этой задачи (для треугольника со стороной 2015) опубликован в разделе "Задачи" журнала "Математика в школе", 2016, №1.
