ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65598
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Раскраски ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Равносторонний треугольник со стороной 8 разделили на равносторонние треугольнички со стороной 1 (см. рис.). Какое наименьшее количество треугольничков надо закрасить, чтобы все точки пересечения линий (в том числе и те, что по краям) были вершинами хотя бы одного закрашенного треугольничка?


Решение

  Всего точек пересечения линий  1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45,  а у треугольничка три вершины, так что по крайней мере 45 : 3 = 15 треугольничков придётся закрасить.
  Пример с 15 треугольничками см. на рисунке.


Ответ

15 треугольничков.

Замечания

1. Можно показать, что существует только один (с точностью до осевой симметрии) способ закрасить 15 треугольничков.

2. В найденной нами раскраске ни одна вершина не закрашена дважды. Сторона 8 большого треугольника – минимальная, при которой такое "экономное" закрашивание возможно. Оно заведомо невозможно, если длина стороны кратна 3. Более сложный вариант этой задачи (для треугольника со стороной 2015) опубликован в разделе "Задачи" журнала "Математика в школе", 2016, №1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2016
класс
Класс 6
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .