На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Равносторонний треугольник со стороной 8 разделили на равносторонние треугольнички со стороной 1 (см. рис.). Какое наименьшее количество треугольничков надо закрасить, чтобы все точки пересечения линий (в том числе и те, что по краям) были вершинами хотя бы одного закрашенного треугольничка?

Решение

  Всего точек пересечения линий  1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45,  а у треугольничка три вершины, так что по крайней мере 45 : 3 = 15 треугольничков придётся закрасить.
  Пример с 15 треугольничками см. на рисунке.

Ответ

15 треугольничков.

Замечания

1. Можно показать, что существует только один (с точностью до осевой симметрии) способ закрасить 15 треугольничков.

2. В найденной нами раскраске ни одна вершина не закрашена дважды. Сторона 8 большого треугольника – минимальная, при которой такое "экономное" закрашивание возможно. Оно заведомо невозможно, если длина стороны кратна 3. Более сложный вариант этой задачи (для треугольника со стороной 2015) опубликован в разделе "Задачи" журнала "Математика в школе", 2016, №1.

Источники и прецеденты использования