|
|
 |
Условие
Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?
Решение
22 + 30 = 52, значит, 52 – 40 = 12 детей держали за руку и мальчика, и девочку. следовательно, 30 – 12 = 18 детей держали за руки только девочек. Эти 18 детей держали 18·2 = 36 девочкиных рук, и ещё 12 держали по одной девочкиной руке, так что всего у девочек было 36 + 12 = 48 рук. Поэтому девочек было 48 : 2 = 24.
Ответ
24 девочки.
Замечания
1. Расстановка детей в хороводе, соответствующая условиям задачи, существует, например, такая, как на рисунке. Возможны и другие расстановки.
2. Зная ответ (24 девочки и 16 мальчиков), можно заметить, что девочек больше, чем мальчиков, ровно на столько, на сколько ребят, держащих за руку девочку, больше, чем тех, кто держит за руку мальчика: 24 – 16 = 30 – 22 = 8. Это не случайное совпадение. Зная этот факт, можно легко решить задачу. Но доказать сам факт не очень просто. Приведём одно из возможных доказательств.
Обозначим через Д и М количество девочек и мальчиков в хороводе, а через X и Y – соответственно количество тех, кто держит за руку девочку, и тех, кто держит мальчика.
Рассмотрим несколько (более одной) девочек, стоящих подряд. Попросим их по одной выходить из круга – сначала тех, кто "в серединке" (то есть стоит между двумя девочками), а потом когда девочек останется две, – одну из оставшихся. При этом будем следить за тем, как меняются Д, М и Д – М, а также X, Y и X – Y. Составим таблицу (маленькой буквой "д" обозначена выходящая из круга девочка):
После всего этого мы получим хоровод, в котором мальчики и девочки чередуются, то есть их поровну, и Д – М = 0. Но и X – Y = 0, потому что в данном случае X = M, а Y = Д. Следовательно, и в изначальном хороводе было Д – М = X – Y.
