Задача 65610

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Найдите все натуральные n и k, удовлетворяющие равенству  k⁵ + 5n⁴ = 81k.

Решение

  5n⁴ = k(9 + k²)(3 + k)(3 – k).  Левая часть этого равенства положительна при любом натуральном значении n, значит, положительной должна быть и правая часть. Следовательно, достаточно проверить два натуральных значения k:  k = 1  и  k = 2.
  1) Если  k = 1,  то  5n⁴ = 80,  то есть  n = 2.
  2) Если  k = 2,  то  5n⁴ = 130.  Таких натуральных n не существует.

Ответ

n = 2,  k = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1.3