ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65610
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все натуральные n и k, удовлетворяющие равенству  k5 + 5n4 = 81k.


Решение

  5n4 = k(9 + k²)(3 + k)(3 – k).  Левая часть этого равенства положительна при любом натуральном значении n, значит, положительной должна быть и правая часть. Следовательно, достаточно проверить два натуральных значения k:  k = 1  и  k = 2.
  1) Если  k = 1,  то  5n4 = 80,  то есть  n = 2.
  2) Если  k = 2,  то  5n4 = 130.  Таких натуральных n не существует.


Ответ

n = 2,  k = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .