|
|
 |
Условие
Квадраты ABCD и BEFG расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что точки A, G и E лежат на одной прямой.
Докажите, что тогда точки D, F и E также лежат на одной прямой.
Решение 1
Рассмотрим треугольники AGB и AGF (рис. слева):
AG – общая сторона, GB = GF (равные стороны квадрата BEFG), ∠AGB = AGF = 135° (углы, смежные с углами BGE и FGE, равными по 45°). Следовательно, треугольники AGB и AGF равны по первому признаку. Значит, AB = AF = AD,
∠GAB = GAF = α, ∠GFA = 180° – ∠AGF – ∠GAF = 45° – α.
В равнобедренном треугольнике ADF ∠DAF = 90° – 2α, ∠DFA = ½ (90° + 2α) = 45° + α.
Таким образом, ∠DFG = ∠GFA + ∠DFA = (45° – α) + (45° + α) = 90°, а ∠DFG + ∠EFG = 180°. Значит, точки D, F и E лежат на одной прямой.
Решение 2
Опустим перпендикуляры AK и AL на прямые EF и EB соответственно (рис. справа). Достаточно доказать, что на одной прямой лежат точки D, K и F. Четырёхугольник AKEL – квадрат, так как три его угла – прямые, а диагональ EG – биссектриса угла E.
Треугольники DAK и BAL равны по первому признаку, так как AD = AB, AK = AL, ∠DAK = 90° – ∠BAK = ∠BAL.
Значит, ∠DKA = ∠BLA = 90°, откуда и следует, что точки D, K и F лежат на одной прямой.
