ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65658
Тема:    [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?


Решение

  Пусть в классе не более 20 человек, тогда ничего не дадим первому ученику, дадим одну конфету второму ученику, две конфеты – третьему, и так далее. В этом случае, будет роздано не больше чем  0 + 1 + 2 + ... + 19 = 190  конфет. Оставшиеся конфеты отдадим ученику, у которого больше всего конфет. Тем самым, указан способ раздать конфеты так, чтобы не нашлось двух учеников с одинаковым количеством конфет. Следовательно, в классе должно быть больше 20 учеников.
  Если в классе 21 ученик, то наименьшее количество конфет, необходимое для того, чтобы все ученики получили разное количество, равно
0 + 1 + 2 + ... + 20 = 210.  Так как всего раздаётся 200 конфет, то в этом случае условие выполняется.


Ответ

21 ученик.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 7
задача
Номер 7.2.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .