Задача 65660

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?

Решение

  Пусть в треугольнике АВС   ∠В = 120°.   Разрез, указанный в условии задачи, должен проходить через вершину треугольника (иначе при разбиении не получится два треугольника). При этом он может проходить как через вершину В, так и через другую вершину.
  В первом случае (BD – линия разреза), хотя бы один из образовавшихся треугольников, например, треугольник BDC не будет остроугольным, поэтому ВС – его основание. Тогда  ∠ DВС = ∠DСВ = α,  ∠ВDA = 2α  – внешний для треугольника BDC. При этом в треугольнике ABD сторона AB основанием быть не может (иначе из равенства  DA = DB = DC  будет следовать, что  ∠В = 90°,  что противоречит условию). Следовательно, его основанием является либо AD, либо BD.

           

  Если AD – основание, то  AB = DB  (рис. слева). Тогда  ∠А = ∠ВDA = 2α.  Из треугольника АВС получим  2α + α = 60°,  α = 20°.  Таким образом,
∠C = 20°,  ∠А = 40°.
  Если BD – основание, то  AB = AD  (рис. справа). Тогда  ∠АВD = ∠ВDA = 2α.  Значит,  ∠В = 3α,  α = 40°,  то есть  ∠C = 40°.
  Во втором случае линия разреза должна пройти через вершину большего из двух острых углов (AE – линия разреза, см. рис.). Тогда оба образовавшихся треугольника будут тупоугольными. При этом  АВ = ВЕ  и  АЕ =  ЕС. Следовательно, ∠ВАЕ = ∠ВЕА = ½ (180° – ∠В) = 30°,  а
∠ЕАС = ∠ЕСА = ½ ∠ВЕА = 15°.

  Таким образом,  ∠C = 15°,  ∠А = 45°.

Ответ

40° и 20° или 45° и 15°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	7
задача
Номер	7.3.2