|
|
 |
Условие
В десятичной записи числа – 36 цифр. Разрешается разбить его на группы по 6 цифр в каждой и как-нибудь переставить эти группы. Известно, что число, полученное при одной из перестановок, в 7 раз больше числа, полученного при другой перестановке. Докажите, что большее из этих чисел делится на 49.
Решение
Обозначим группы из шести цифр слева направо буквами a, b, c, d, e и f соответственно. Тогда исходное число можно записать так:
1030a + 1024b + 1018c + 1012d + 106e + f. Заметим, что натуральное число вида 106n дает остаток 1 при делении на 7, так как 106n – 1 делится на
106 – 1 = 999999, а 999999 делится на 7. Следовательно, исходное число имеет такой же остаток от деления на 7, что и число a + b + c + d + e + f. Значит, и любая перестановка, указанная в условии, даёт тот же остаток от деления на 7.
