ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65666
Тема:    [ Математическая логика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: "Оба моих соседа – лжецы", а остальные восемь заявили: "Оба моих соседа – рыцари". Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек?


Решение

  Ясно, что не все присутствующие являются рыцарями и не все являются лжецами: в этих случаях ни один из них не смог бы произнести первую фразу.
  Если мы возьмём одного рыцаря, то один из соседних с ним лжецов может произнести первую фразу, а остальные лжецы могут произнести вторую. Это даёт пример единственного рыцаря.
  Если мы возьмём двух рыцарей на противоположных местах вокруг стола, то все лжецы смогут произнести вторую фразу. Это даёт пример двух рыцарей.

  То, что рыцарей не более двух, можно доказать по-разному.

  Первый способ. Предположим, что есть два рыцаря, сидящих рядом. Пойдём от них по кругу и дойдём до первого лжеца. Тогда мы найдём комбинацию РРЛ; но в этом случае рыцарь посередине не может произнести ни одну из фраз. Противоречие. Следовательно, каждый рыцарь окружен лжецами. Но в таких условиях каждый рыцарь произнесет первую фразу. Следовательно, рыцарей не больше двух.

  Второй способ. Предположим, какой-то рыцарь сказал вторую фразу. Тогда оба его соседа – рыцари. Рассмотрим его соседа справа. Он рыцарь, и слева от него сидит рыцарь. Он не может солгать, сказав первую фразу, и должен сказать, что оба его соседа – рыцари. Тогда рассмотрим его соседа справа; и так далее. Получается, что все присутствующие за столом – рыцари, чего быть не может. Значит, все присутствующие рыцари обязаны говорить первую фразу, а таких фраз всего две. Следовательно, рыцарей не более двух.


Ответ

Один или два.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2016
Номер 79
класс
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .