Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Считается, что он отгадал, если одну цифру он назвал правильно, а в другой ошибся не более чем на единицу (например, если задумано число 65, то 65, 64 и 75 подходят, а 63, 76 и 56 – нет). Придумайте способ, гарантирующий Грише успех за 22 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).

   Решение

На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол A равен 120°, угол C равен 135°, а угол D равен n°.
Найдите все возможные целые значения n.

Решение 1

  Для начала покажем, что ответ единственен. Рассмотрим два равносторонних пятиугольника ABCDE и A'B'C'D'E', в которых  ∠A = ∠A' = 120°,
∠C = ∠C' = 135°.  Можно считать, что длины сторон пятиугольников равны 1. Заметим, что по двум сторонам и углу между ними равны треугольники EAB и E'A'B', а также BCD и B'C'D'. Значит,  BE = B'E',  BD = B'D',  и треугольники BDE и B'D'E' равны по трём сторонам. Следовательно,
∠BDE = ∠B'D'E'.  Из равнобедренных треугольников BCD и B'C'D' видно, что  ∠CDB = ∠C'D'B' = 22,5°.  Таким образом,
∠CDE = ∠CDB + ∠BDE = ∠C'D'B' + ∠B'D'E' = ∠C'D'E',  что и означает единственность ответа.
  Докажем, что существует удовлетворяющий условию пятиугольник, у которого  ∠D = 90°.  Сначала построим прямоугольный треугольник CDE, с катетами CD и DE, равными 1. Тогда  .  Затем построим такую точку B, что  ∠ECB = 90°,  BC = 1.  Тогда  .  Теперь построим точку A так, что  ∠AEB = ∠ABE = 30°. Тогда  ∠BAE = 120°,  AB = AE = 1.

Решение 2

  Пусть длины всех сторон пятиугольника равны 1. Из треугольника BDC находим, что  ∠BDC = 12,5°.  Обозначим  ∠BDE = φ.  По теореме косинусов    По той же теореме     Значит,     то есть  2φ = 135°,  φ = 72,5°,  а  ∠D = ∠EDB + ∠BDC = 90°.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования