Задача 65688

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Косухин О.Н.

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Решение

Если квадрат некоторого натурального числа n оканчивается на 2016, то  n² = 10000k + 2016  при некотором натуральном k. Тогда
n² – 16 = (n – 4)(n + 4) = 10000k + 2000 = 2⁴· 5³(5k + 1).  Числа  n – 4  и  n + 4  не могут одновременно делиться на 5, так как их разность равна 8. Следовательно, либо  n – 4,  либо  n + 4  делится на 5³. Кроме того, оба числа чётны и делятся на 4, иначе их произведение не делилось бы на 2⁴. Значит, хотя бы одно из этих чисел делится на  5³·4 = 500,  то есть  n = 500m ± 4,  n² = 250000m² ± 4000m + 16.  Если  m = 1,  то n² оканчивается на 6016 или 4016. Если же  m = 2  и выбран знак "минус", то получаем число  m = 996  – наименьшее удовлетворяющее условию задачи, так как  996² = 992016.

Ответ

996.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2016
Номер	79
класс
Класс	11
задача
Номер	1