|
|
 |
Условие
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
Решение
Проверим, что множества {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, а также множество всех натуральных чисел – полные.
Для последнего множества это очевидно; для остальных заметим, что если натуральные числа a и b таковы, что a + b ≤ 4, то либо они оба равны 2, либо одно из них равно 1; в любом из этих случаев ab ≤ a + b. Значит. если a + b ∈ A, то и ab ∈ A.
Пусть теперь A – произвольное полное множество. Если A содержит некоторое число k ≥ 2, то по условию оно также содержит число
1·(k – 1) = k – 1. Продолжая этот процесс, получаем, что все натуральные числа, не превосходящие k, лежат в A. В частности, если A не содержит чисел, больших 4, то множество A уже перечислено в ответе.
Пусть в A есть число l ≥ 5. Зададим последовательность l1, l2, ... соотношениями l1 = l, ln+1 = 2(ln – 2). Все эти числа лежат в A. Кроме того,
ln+1 = ln + (ln – 4); по индукции теперь получаем, что ln+1 > ln ≥ 5. Значит, ln > n; для любого натурального n; из доказанного выше отсющда следует, что и n ∈ A. Итак, A содержит все натуральные числа.
Ответ
Множество всех натуральных чисел, а также множества {1}, {1, 2}, {1, 2, 3} и {1, 2, 3, 4}.
Замечания
Ср. с задачей 65702.
