Задача 65701

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Зиманов Т., Кожевников П.А.

На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что  AK = KN = DN  и  BL = BC = CM.  Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан.

Решение

  В случае  AB || CD  имеем  BC = KN,  поэтому  AK = BL = CM = DN.  Значит, четырёхугольник LMDA получается из BCNK параллельным переносом на вектор BL.

  Пусть теперь AB и CD не параллельны; обозначим через P точку пересечения прямых AB и CD. Так как четырёхугольник BCNK вписан, треугольники PBC и PNK подобны; отсюда  PB : BL = PB : BC = PN : NK = PN : ND.  Значит,  BN || LD.  Аналогично  CK || MA.  Отсюда  ∠ALD = ∠KBN  и
∠KCN = ∠AMD.
  Так как четырёхугольник BCNK вписан, то  ∠KBN = ∠KCN.  Поэтому и  ∠ALD = ∠AMD,  то есть ADML также вписан.

Замечания

Есть и другие решения; например, из равенств  ∠AKN = ∠NCB  и  ∠DNK = ∠KBC следует, что четырёхугольники BCML и NKAD подобны, поэтому
∠BLM = ∠MDA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3