ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65712
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.


Решение 1

  На продолжении отрезка AB за точку A отметим точку K так, что  AB = AK  (рис. слева). Тогда AM – средняя линия треугольника BCK, откуда
AM || CK.  Значит,  ∠BKC = ∠BAM = ∠ADC.  Отсюда следует, что четырёхугольник AKDC вписан.
  Опять используя параллельность AM и CK, получаем  ∠CAM = ∠ACK = ∠ADKDA – медиана и высота треугольника BDK, поэтому DA является и биссектрисой; отсюда  ∠ADB = ∠ADK = ∠CAM.

                   


Решение 2

  Заметим, что  ∠ADC + ∠DAM = ∠BAM + ∠DAM = 90°;  это значит, что  AMCD.  Опустим перпендикуляры MN и BP на прямую CD; тогда точки A, M и N лежат на одной прямой (рис. в центре).
  Поскольку MN – средняя линия треугольника BCP, то  PN = NC.  Значит, AN – высота и медиана треугольника APC, откуда  ∠CAM = ∠MAP.  Так как  BP || AN,  то  ∠MAP = ∠APB.  Наконец, поскольку  ∠BPD = ∠BAD = 90°,  четырёхугольник ABPD вписан; поэтому  ∠APB = ∠ADB.  Итак,
CAM = ∠MAP = ∠APB = ∠ADB.


Решение 3

  Отложим на луче AM точку Q так, что  AQ = 2AM  (рис. справа). Тогда в четырёхугольнике ABQC диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть он – параллелограмм; значит,  ∠CAQ = ∠AQB.
  Так как QC || AB,  то  QCAD.  Кроме того,  DCAQ  (см. решение 2). Значит, C – точка пересечения высот треугольника AQD, откуда  ACQD  (и, значит,  BQQD).
  Поскольку  ∠BAD = ∠BQD = 90°,  четырёхугольник ABQD вписан. Значит,  ∠ADB = ∠AQB = ∠CAQ,  что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2015/2016
этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .